Enunț

Înmulțind toate numerele naturale de la 12 la 72 obținem un număr $A$.

În câte zerouri se termină $A$?

a) 10 b) 12 c) 14 d) 16

Rezolvare

Metoda — numărăm factori de 5

Zerourile finale ale unui produs sunt date de câte perechi $2 \times 5$ există. Deoarece factorii de 2 sunt mult mai mulți, contează doar factorii de 5.

Multiplii lui 5 din intervalul [12, 72]: $15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70$

Aceștia sunt 12 multipli de 5 (deci 12 factori de 5 din această sursă).

Multipli de 25 (contribuie câte 2 factori de 5): $25, 50 \quad \text{(2 numere → 2 factori suplimentari de 5)}$

Total factori de 5: $12 + 2 = \mathbf{14}$

Deci produsul $12 \times 13 \times \ldots \times 72$ se termină în 14 zerouri.

Verificare

$25 = 5^2$ (contribuie 2 fives), $50 = 2 \times 5^2$ (contribuie 2 fives); celelalte 10 numere contribuie câte 1 five → total $2+2+10=14$ ✓

Răspuns

c) 14 zerouri