Enunț

Două numere naturale de cinci cifre sunt formate folosind toate cifrele de la 0 la 9, fiecare o singură dată.

Care este diferența cea mai mică posibilă dintre cele două numere?

Barem oficial

• Descăzutul trebuie să fie cât mai mic, scăzătorul cât mai mare ⟹ $a - b = 1$ … 3p
• Cea mai mică valoare a descăzutului: $\overline{ab012}$, cea mai mare a scăzătorului: $\overline{ab987}$ … 6p
• Cifrele nefolosite sunt 4 și 5; cu $a - b = 1$ ⟹ $a = 5$, $b = 4$
• $50123 - 49876 = \mathbf{247}$ … 6p

---

Rezolvare

Strategia

Avem 10 cifre (0-9), fiecare folosită exact o dată în două numere de 5 cifre, $A$ și $B$. Vrem să minimizăm $A - B$ (presupunem $A > B$).

Principiul: Cifrele de mii trebuie să fie cât mai apropiate. Dacă prima cifră a lui $A$ este $d_A$ și a lui $B$ este $d_B$, cu $d_A - d_B = 1$ (minim posibil).

Pasul 1 — stabilim cifrele conducătoare

Alegem $d_A = 5$ și $d_B = 4$ (diferența 1). Astfel:

• $A = 5 \ldots$ (cifra 0 pe poziția a doua → număr mic)
• $B = 4 \ldots$ (cifra 9 pe poziția a doua → număr mare)

Pasul 2 — completăm cifrele rămase

Cifrele disponibile după ce am folosit 5, 0, 4, 9: rămân 1, 2, 3, 6, 7, 8.

• Pentru $A$ (cât mai mic): $50\mathbf{123}$
• Pentru $B$ (cât mai mare): $49\mathbf{876}$

(Cifrele 1,2,3 merg la $A$ (minimizăm), cifrele 6,7,8 merg la $B$ (maximizăm).)

Pasul 3 — calculăm diferența

$A - B = 50123 - 49876 = \mathbf{247}$

Verificare

Cifrele folosite: $\{5,0,1,2,3\}$ și $\{4,9,8,7,6\}$ = toate cifrele 0–9 ✓

Răspuns

Diferența cea mai mică posibilă este $\mathbf{247}$ (obținută din $50123 - 49876$).