Enunț

Într-o clasă sunt 26 de elevi; numărul băieților este cu 2 mai mic decât trei sferturi din numărul fetelor.

(10 puncte) a) Pot să fie 12 fete în clasă? Justificați.

(20 puncte) b) Arătați că cel puțin doi băieți sunt născuți în aceeași zi a săptămânii și că cel puțin două fete sunt născute în aceeași lună a anului.

Rezolvare

Aflăm numărul de fete și băieți

Fie $f$ = nr. fete, $b$ = nr. băieți. $b = \frac{3}{4}f - 2 \quad \text{și} \quad b + f = 26$

$\frac{3}{4}f - 2 + f = 26 \implies \frac{7}{4}f = 28 \implies f = 16 \text{ fete}, \quad b = 10 \text{ băieți}$

a) Pot fi 12 fete?

Dacă $f=12$: $b = \dfrac{3}{4} \times 12 - 2 = 9-2 = 7$; total $= 12+7 = 19 \neq 26$.

Nu, nu pot fi 12 fete (total ar fi 19, nu 26).

b) Principiul cutiei

Cel puțin 2 băieți în aceeași zi a săptămânii:

Există 7 zile în săptămână și 10 băieți. Prin Principiul lui Dirichlet (cutiei): $\left\lceil \frac{10}{7} \right\rceil = 2$ → cel puțin 2 băieți sunt născuți în aceeași zi a săptămânii. $\square$

Cel puțin 2 fete în aceeași lună:

Există 12 luni și 16 fete: $\left\lceil \frac{16}{12} \right\rceil = 2$ → cel puțin 2 fete sunt născute în aceeași lună. $\square$