Enunț

Doi frați și tatăl lor au împreună 47 de ani. Vârsta tatălui este un număr natural format din două cifre, iar vârstele fiilor sunt prima, respectiv a doua cifră a vârstei tatălui.

• Arată că cei doi fii nu sunt gemeni.
• Află ce vârstă are tatăl și ce vârstă are fiecare dintre fiii săi.

Barem oficial

Demonstrare că frații nu sunt gemeni (2p):

• Dacă ar fi gemeni cu $x$ ani, tatăl are $\overline{xx}$ = 11x ani
• $x + x + 11x = 13x = 47$ → $x$ nu e număr natural ⟹ nu sunt gemeni

Determinarea vârstelor (8p):

• Tatăl are $\overline{xy}$ = $10x + y$ ani, fii au $x$ și $y$ ani
• $x + y + 10x + y = 47$ → $11x + 2y = 47$ … 3p
• 47 impar → 11x impar → $x$ impar (1, 3, 5, 7, 9) … 2p
• $x=1$: $2y=36$, $y=18$ — nu e cifră; $x=5$: $2y=-8$ — negativ
• $x=3$: $2y = 47-33 = 14$, $y=7$ ✓ … 3p
• Tatăl: 37 ani; fiii: 3 și 7 ani

---

Rezolvare

Demonstrăm că frații nu sunt gemeni

Dacă frații ar fi gemeni, amândoi ar avea $x$ ani, și tatăl ar avea $\overline{xx} = 11x$ ani. Suma: $x + x + 11x = 13x = 47$

Dar $47 : 13 = 3,61\ldots$ (nu este număr natural), deci frații nu pot fi gemeni.

Aflăm vârstele

Fie tatăl cu $\overline{xy}$ ani, fiii cu $x$ și $y$ ani ($x \neq y$).

$x + y + 10x + y = 47 \implies 11x + 2y = 47$

Deoarece 47 este impar și $2y$ este par, $11x$ trebuie să fie impar, deci $x$ este impar.

$x$	$2y = 47 - 11x$	$y$	Valid?
1	36	18	✗ (nu e cifră)
3	14	7	✓
5	−8	neg.	✗
7	−30	neg.	✗

Soluția: $x = 3$, $y = 7$.

Răspuns

• Tatăl: 37 de ani
• Primul fiu: 3 ani
• Al doilea fiu: 7 ani