Enunț

Vasile urcă un șir de trepte după regula: urcă două trepte și coboară o treaptă, urcă din nou patru trepte și coboară două trepte, și tot așa.

Un pas = urcarea SAU coborârea unei singure trepte.

Pe ce treaptă se află Vasile după 275 de pași?

Problemă din Gazeta Matematică, supliment.

Rezolvare

Structura mișcărilor

Mișcarea $k$: urcă $2k$ trepte (= $2k$ pași), coboară $k$ trepte (= $k$ pași) → $3k$ pași, net $+k$ trepte.

Poziția după mișcarea $k$: $\dfrac{k(k+1)}{2}$ (sumă $1+2+\ldots+k$)

Pași folosiți după mișcarea $k$: $3 \cdot \dfrac{k(k+1)}{2}$

Aflăm la câte mișcări complete ajunge

$\frac{3 \times 13 \times 14}{2} = 273 \text{ pași} \quad \text{(după 13 mișcări)}$

$\frac{3 \times 14 \times 15}{2} = 315 \text{ pași} \quad \text{(după 14 mișcări)}$

Deci după 273 pași, Vasile este pe treapta $\dfrac{13 \times 14}{2} = 91$.

Pașii rămași: $275 - 273 = 2$ pași din mișcarea 14 (care urcă 28 trepte).

Primii 2 pași din mișcarea 14 = urcă 2 trepte → poziție: $91 + 2 = \mathbf{93}$.

Răspuns

Vasile se află pe treapta 93 după 275 de pași.