Problema 5 — Subiect 2026 · Micul Racovițist

Enunț

Într-o urnă sunt bile numerotate de la 1 la 21. Patru copii extrag pe rând câte 5 bile și constată că sumele numerelor înscrise pe bilele extrase sunt: 43, 53, 45 și 70. Să se arate că unul dintre copii a extras bila cu numărul 21.

Barem oficial

Suma celor 21 de numere din urnă este $1 + 2 + 3 + \ldots + 21 = 231$ … 5p
Dacă niciunul dintre copii nu ar extrage bila cu numărul 21, atunci ar fi extrase cele $4 \times 5 = 20$ de bile numerotate de la 1 la 20, care au suma $210$ … 5p
Suma celor patru sume este $43 + 53 + 45 + 70 = 211$ și reprezintă suma celor 20 de numere extrase, care este mai mare decât suma celor mai mici 20 de numere. Cu siguranță unul dintre copii a extras bila cu numărul 21 … 5p

Rezolvare

Pasul 1 — suma tuturor bilelor

Folosim suma lui Gauss:

$1 + 2 + 3 + \ldots + 21 = \frac{21 \times 22}{2} = 231$

Pasul 2 — presupunem că bila 21 NU a fost extrasă

Cei patru copii extrag în total $4 \times 5 = 20$ de bile. Dacă bila cu numărul 21 ar rămâne în urnă, cele 20 de bile extrase ar fi exact bilele numerotate de la 1 la 20, cu suma:

$1 + 2 + \ldots + 20 = 231 - 21 = 210$

Aceasta este cea mai mare sumă posibilă pentru 20 de bile care nu includ bila 21.

Pasul 3 — comparăm cu suma reală

Suma numerelor de pe bilele extrase este:

$43 + 53 + 45 + 70 = 211$

Dar $211 > 210$ — contradicție! Suma reală depășește maximul posibil fără bila 21.

Concluzie

Presupunerea este falsă, deci printre bilele extrase se află obligatoriu bila cu numărul 21. $\blacksquare$

Răspuns

Deoarece $43 + 53 + 45 + 70 = 211 > 210 = 1 + 2 + \ldots + 20$ , unul dintre copii a extras cu siguranță bila cu numărul $\mathbf{21}$ .