Enunț

Bunicul are 7 nepoți: Andrei, Bogdan, Costin, Dan, Emil, Florin și Gabriel. Vârsta bunicului este de 74 de ani și este egală cu suma vârstelor nepoților săi. Vârstele lui Andrei, Bogdan, Costin, Dan, Emil și Florin sunt numere pare consecutive, iar Gabriel are un frate geamăn (dintre cei 7 nepoți).

Câți ani are Gabriel și cum se numește fratele său geamăn?

Barem oficial

Fie vârsta lui Andrei $= 2n$ (număr par):

• Vârstele: $2n, 2n+2, 2n+4, 2n+6, 2n+8, 2n+10$; Gabriel $= 2n+2m$ ($m \in \{0,1,2,3,4,5\}$) … 8p
• Suma: $7 \cdot 2n + 30 + 2m = 74$ ⟹ $14n + 2m = 44$ ⟹ $7n + m = 22$ … 6p
• Soluție: $n=3$, $m=1$ → Gabriel are $2 \times 3 + 2 \times 1 = 8$ ani
• Vârstele în ordine: 6, 8, 8 (Bogdan are tot 8 ani → geamăn cu Gabriel) … 6p

---

Rezolvare

Pasul 1 — Organizăm informațiile

• 7 nepoți: Andrei (A), Bogdan (B), Costin (C), Dan (D), Emil (E), Florin (F), Gabriel (G)
• Suma vârstelor = vârsta bunicului = 74 ani
• A, B, C, D, E, F au vârste pare consecutive: $2n,\ 2n+2,\ 2n+4,\ 2n+6,\ 2n+8,\ 2n+10$
• Gabriel are un frate geamăn printre cei 7

Pasul 2 — Ecuația sumei

Suma primilor 6: $2n + (2n+2) + (2n+4) + (2n+6) + (2n+8) + (2n+10) = 12n + 30$

Gabriel are vârsta $2n + 2m$ (unde $m \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$, adică este egal cu unul din cei 6):

$12n + 30 + (2n + 2m) = 74$

$14n + 2m = 44$

$7n + m = 22$

Pasul 3 — Găsim $n$ și $m$

Deoarece $0 \leq m \leq 5$:

$7n = 22 - m \implies n = \frac{22 - m}{7}$

Singura valoare din $\{0,1,2,3,4,5\}$ care face $22 - m$ divizibil cu 7 este $m = 1$: $n = \frac{22 - 1}{7} = \frac{21}{7} = 3$

Deci $n = 3$, $m = 1$.

Pasul 4 — Determinăm vârstele

Cei 6 nepoți cu vârste consecutive: $6, 8, 10, 12, 14, 16$ ani (în ordine: Andrei, Bogdan, Costin, Dan, Emil, Florin)

Gabriel: $2n + 2m = 2 \times 3 + 2 \times 1 = \mathbf{8}$ ani

Fratele geamăn al lui Gabriel trebuie să aibă tot 8 ani. Printre cei 6, Bogdan are 8 ani.

Verificare

Suma totală: $6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 8 = 74$ ✓

Răspuns

Gabriel are 8 ani, iar fratele său geamăn este Bogdan (care are și el 8 ani).