Enunț

Determinați numerele de trei cifre $\overline{abc}$ care se micșorează de nouă ori dacă se șterge cifra din mijloc.

Adică $\overline{abc} = 9 \times \overline{ac}$, unde $\overline{ac}$ este numărul format din prima și ultima cifră a lui $\overline{abc}$.

Barem oficial

• $\overline{abc} = 9 \times \overline{ac}$ → din cifra unităților: $c = 0$ sau $c = 5$ … 4p
• Dacă $c = 0$: $\overline{ab0} = 9 \times \overline{a0}$ → $\overline{ab} = 9a$ (imposibil pentru $a \geq 1$) … 4p
• Dacă $c = 5$: $\overline{ab5} = 9 \times \overline{a5}$ → convine pentru $a \in \{1,2,3,4\}$ … 3p
• Numerele: 135, 225, 315, 405 … 4p

---

Rezolvare

Pasul 1 — Scriem condiția algebric

Fie $\overline{abc}$ numărul de 3 cifre. Prin ștergerea cifrei din mijloc ($b$) obținem $\overline{ac}$.

$\overline{abc} = 100a + 10b + c \qquad \overline{ac} = 10a + c$

Condiția: $\overline{abc} = 9 \times \overline{ac}$ $100a + 10b + c = 9(10a + c)$

$100a + 10b + c = 90a + 9c$

$10a + 10b = 8c$

$5a + 5b = 4c$

$5(a + b) = 4c$

Pasul 2 — Găsim soluțiile

Deoarece $5(a+b) = 4c$, membrul stâng este multiplu de 5, deci $4c$ trebuie să fie multiplu de 5.

Deoarece $\gcd(4, 5) = 1$, înseamnă că $c$ trebuie să fie multiplu de 5.

Cifrele posibile: $c \in \{0, 5\}$.

Cazul 1: $c = 0$

$5(a + b) = 0 \implies a + b = 0 \implies a = b = 0$

Dar $a \neq 0$ (number de 3 cifre), deci imposibil.

Cazul 2: $c = 5$

$5(a + b) = 20 \implies a + b = 4$

Valorile posibile ($a \geq 1$, $b \geq 0$, $a \leq 9$, $b \leq 9$):

$a$	$b$	$\overline{ab5}$	Verificare: $9 \times \overline{a5}$
1	3	135	$9 \times 15 = 135$ ✓
2	2	225	$9 \times 25 = 225$ ✓
3	1	315	$9 \times 35 = 315$ ✓
4	0	405	$9 \times 45 = 405$ ✓

Răspuns

Numerele de trei cifre care se micșorează de 9 ori prin ștergerea cifrei din mijloc sunt: $\mathbf{135, \ 225, \ 315, \ 405}$