Enunț

Fie șirul de numere: 3, 11, 19, 27, …

(15p) a) Aflați al 501-lea termen al șirului.

(10p) b) Aflați restul împărțirii diferenței dintre dublul celui de-al 121-lea termen și triplul celui de-al 22-lea termen la cincimea celui de-al 5-lea termen.

Barem oficial

a)

• Rația: $a_2 - a_1 = 8$ → $a_n = 3 + 8(n-1)$ … 8p
• $a_{501} = 3 + 8 \times 500 = \mathbf{4003}$ … 4p+3p

b)

• $a_{121} = 3 + 8 \times 120 = 963$ … 1p
• $a_{22} = 3 + 8 \times 21 = 171$ … 2p
• $2 \times 963 - 3 \times 171 = 1926 - 513 = 1413$ … 2p
• $a_5 = 3 + 4 \times 8 = 35$; $a_5 : 5 = 7$ … 2p
• $1413 : 7 = 201$ rest $\mathbf{6}$ … 2p

---

Rezolvare

Pasul 1 — Formula termenului general

Șirul 3, 11, 19, 27, … are rația $r = 11 - 3 = 8$.

Formula termenului $n$: $a_n = 3 + 8 \times (n - 1)$

$n$	1	2	3	4	5	501
$a_n$	3	11	19	27	35	?

---

Punctul a) — Al 501-lea termen (15p)

$a_{501} = 3 + 8 \times (501 - 1) = 3 + 8 \times 500 = 3 + 4000 = \mathbf{4003}$

---

Punctul b) — Rest la împărțire (10p)

Calculăm termenul 121: $a_{121} = 3 + 8 \times 120 = 3 + 960 = 963$

$2 \times a_{121} = 2 \times 963 = 1926$

Calculăm termenul 22: $a_{22} = 3 + 8 \times 21 = 3 + 168 = 171$

$3 \times a_{22} = 3 \times 171 = 513$

Diferența: $1926 - 513 = 1413$

Calculăm a 5-a parte din $a_5$: $a_5 = 3 + 8 \times 4 = 35; \quad 35 : 5 = 7$

Împărțim: $1413 : 7 = 201 \text{ rest } \mathbf{6}$

Verificare: $201 \times 7 = 1407$; $1413 - 1407 = 6$ ✓

Răspuns

a) Al 501-lea termen al șirului este $\mathbf{4003}$.

b) Restul împărțirii este $\mathbf{6}$.