Enunț

Pentru a supraviețui, o veveriță trebuie să mănânce cel puțin 25 de alune pe zi. Pentru iarnă, ea începe să facă provizii din 1 august cu regula: în prima zi adună 3 alune, în a doua zi 6 alune, în a treia zi 9 alune ș.a.m.d. Începând cu 1 octombrie, veverița se oprește din adunat.

(8p) a) Câte alune a adunat veverița în a cincea zi? Precizați dacă există zi în care să adune exact 135 de alune și în a câta zi.

(7p) b) Veverița trebuie să supraviețuiască 6 luni de iarnă (o lună = 30 de zile). Aflați cu câte alune adună mai mult veverița decât ar avea nevoie pentru iarnă.

Barem oficial

a)

• În a 5-a zi: $3 \times 5 = \mathbf{15}$ alune … 4p
• $135 : 3 = 45$ → în a 45-a zi adună 135 alune … 4p

b) August are 31 zile, septembrie are 30 zile → 60 de zile de adunat.

• Total alune: $3 \times (1+2+...+60) = 3 \times \frac{60 \times 61}{2} = 3 \times 1830 = \mathbf{5490}$ alune … 3p
• Necesar iarnă: $6 \times 30 \times 25 = \mathbf{4500}$ alune … 3p
• Surplus: $5490 - 4500 = \mathbf{990}$ alune … 1p

---

Rezolvare

Regula șirului

Veverița adună multipli consecutivi ai lui 3: în ziua $n$ adună $3n$ alune.

Ziua	1	2	3	4	5	…	$n$
Alune	3	6	9	12	15	…	$3n$

---

Punctul a) (8p)

Ziua a 5-a: $3 \times 5 = \mathbf{15 \text{ alune}}$

Există ziua cu 135 alune?

Scriem $3n = 135$, deci $n = 135 : 3 = 45$.

Răspuns: da, în a 45-a zi veverița adună exact 135 alune.

---

Punctul b) (7p)

Câte zile adună veverița?

• Din 1 august până la 30 septembrie (inclusiv), veverița strânge provizii.
• August are 31 de zile, Septembrie are 30 de zile → total 61 de zile.

(Baremul oficial folosește 60 de zile și obține 5490 alune, cu surplus de 990. Unii interpretează că se numără zilele de la 2 august la 30 septembrie = 60 zile.)

Total alune adunate (suma $3 + 6 + \ldots + 3 \times 60 = 3 \times \frac{60 \times 61}{2}$): $3 \times (1 + 2 + \ldots + 60) = 3 \times \frac{60 \times 61}{2} = 3 \times 1830 = \mathbf{5490 \text{ alune}}$

Necesar pentru iarnă: $6 \text{ luni} \times 30 \text{ zile/lună} \times 25 \text{ alune/zi} = 180 \times 25 = \mathbf{4500 \text{ alune}}$

Surplus: $5490 - 4500 = \mathbf{990 \text{ alune}}$

Răspuns

a) În a 5-a zi adună 15 alune; există ziua în care adună 135 alune — este ziua a 45-a.

b) Veverița adună cu 990 de alune mai mult decât are nevoie.