Enunț

Determinați numerele de forma $\overline{abcd}$ pentru care:

$\overline{abcd} + \overline{abc} + \overline{ab} + a + b + c + d = 2025$

Notă importantă: Notația $\overline{abcd}$ reprezintă numărul cu cifrele $a$, $b$, $c$, $d$, unde $a$ este cifra mii, $b$ a sutelor, $c$ a zecilor și $d$ a unităților.

Barem oficial

Descompunere:

• $\overline{abcd} = 1000a + 100b + 10c + d$
• $\overline{abc} = 100a + 10b + c$
• $\overline{ab} = 10a + b$
• Suma = $1111a + 112b + 12c + 2d = 2025$ (coeficientul lui $a$ este 1111, nu 1112!)

Analiza soluțiilor:

• Dacă $a \geq 3$: suma $\geq 3000 > 2025$ → imposibil … 1p
• Dacă $a = 2$: suma $\geq 2222 > 2025$ → imposibil … 2p
• Dacă $a = 1$: $1111 + 112b + 12c + 2d = 2025$ → $112b + 12c + 2d = 914$
• Simplificând: $56b + 6c + d = 457$ … 2p
• $b = 9$: $56 \times 9 = 504 > 457$ → imposibil … 1p
• $b = 8$: $448 + 6c + d = 457$ → $6c + d = 9$
  • $c=0, d=9$: numărul 1809 ✓
  • $c=1, d=3$: numărul 1813 ✓ … 2p
• $b \leq 7$: $56 \times 7 + 6 \times 9 + 9 = 455 < 457$ → imposibil … 1p
• Soluțiile: $\overline{abcd} \in \{1809, 1813\}$ … 1p

Verificare:

• $1809 + 180 + 18 + 1+8+0+9 = 1809 + 180 + 18 + 18 = 2025$ ✓
• $1813 + 181 + 18 + 1+8+1+3 = 1813 + 181 + 18 + 13 = 2025$ ✓

---

Rezolvare

Pasul 1 — Descompunem fiecare termen

$\overline{abcd} = 1000a + 100b + 10c + d$

$\overline{abc} = 100a + 10b + c$

$\overline{ab} = 10a + b$

Suma tuturor termenilor:

$\overline{abcd} + \overline{abc} + \overline{ab} + a + b + c + d = 2025$

$(1000a + 100b + 10c + d) + (100a + 10b + c) + (10a + b) + a + b + c + d = 2025$

$\underbrace{(1000 + 100 + 10 + 1)}_{1111} a + \underbrace{(100 + 10 + 1 + 1)}_{112} b + \underbrace{(10 + 1 + 1)}_{12} c + \underbrace{(1 + 1)}_{2} d = 2025$

$\boxed{1111a + 112b + 12c + 2d = 2025}$

Pasul 2 — Analizăm posibilii valori ai lui $a$

Deoarece $a$ este cifra miilor, avem $a \in \{1, 2, \ldots, 9\}$.

• Dacă $a \geq 2$: $1111 \times 2 = 2222 > 2025$ → imposibil
• Deci $a = 1$ (singura variantă)

Înlocuim: $1111 + 112b + 12c + 2d = 2025$ $112b + 12c + 2d = 914$

Simplificăm prin 2: $56b + 6c + d = 457$

Pasul 3 — Analizăm posibilii valori ai lui $b$

• $b = 9$: $56 \times 9 = 504 > 457$ → imposibil (chiar și cu $c = d = 0$ depășim)
• $b = 8$: $56 \times 8 = 448$ → $6c + d = 457 - 448 = 9$
  • $c = 0, d = 9$: $6 \times 0 + 9 = 9$ ✓ → $\overline{abcd} = 1809$
  • $c = 1, d = 3$: $6 \times 1 + 3 = 9$ ✓ → $\overline{abcd} = 1813$
  • $c = 2, d = ?$: $6 \times 2 = 12 > 9$ → imposibil
• $b \leq 7$: $56 \times 7 + 6 \times 9 + 9 = 392 + 54 + 9 = 455 < 457$ → imposibil (nu putem atinge 457)

Verificare

$1809 + 180 + 18 + 1 + 8 + 0 + 9 = 1809 + 180 + 18 + 18 = 2025 \checkmark$

$1813 + 181 + 18 + 1 + 8 + 1 + 3 = 1813 + 181 + 18 + 13 = 2025 \checkmark$

Răspuns

Numerele de forma $\overline{abcd}$ care satisfac condiția sunt: $\mathbf{1809}$ și $\mathbf{1813}$.