Câtul dintre cel mai mare și cel mai mic număr ab cu (2ab + 6ba)×3 + 999 = 3696 — 2026

Enunț

Să se calculeze câtul dintre cel mai mare și cel mai mic număr natural $\overline{ab}$ care verifică egalitatea:

$(\overline{2ab} + \overline{6ba}) \times 3 + 999 = 3696$

Barem oficial

• $(\overline{2ab} + \overline{6ba}) \times 3 = 3696 - 999$ … 2p
• $(\overline{2ab} + \overline{6ba}) \times 3 = 2697$ … 2p
• $\overline{2ab} + \overline{6ba} = 2697 : 3$ … 2p
• $\overline{2ab} + \overline{6ba} = 899$ … 2p
• $800 + \overline{ab} + \overline{ba} = 899$ … 2p
• $a + b = 9$ … 2p
• Cel mai mare număr este $90$ … 1p
• Cel mai mic număr este $18$ … 1p
• Câtul este $\mathbf{5}$ … 1p

---

Rezolvare

Pasul 1 — izolăm paranteza

$(\overline{2ab} + \overline{6ba}) \times 3 = 3696 - 999 = 2697$

$\overline{2ab} + \overline{6ba} = 2697 : 3 = 899$

Pasul 2 — descompunem pozițional

Numărul $\overline{2ab}$ înseamnă $200 + \overline{ab}$, iar $\overline{6ba}$ înseamnă $600 + \overline{ba}$:

$200 + \overline{ab} + 600 + \overline{ba} = 899 \implies \overline{ab} + \overline{ba} = 99$

Cum $\overline{ab} + \overline{ba} = 10a + b + 10b + a = 11 \times (a + b)$:

$11 \times (a + b) = 99 \implies a + b = 9$

Pasul 3 — găsim numerele extreme

Numerele $\overline{ab}$ cu $a + b = 9$ și $a \geq 1$ sunt: $18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90$.

• Cel mai mare: $90$
• Cel mai mic: $18$

$90 : 18 = \mathbf{5}$

Verificare

Pentru $\overline{ab} = 90$: $(290 + 609) \times 3 + 999 = 899 \times 3 + 999 = 2697 + 999 = 3696$ ✓

Pentru $\overline{ab} = 18$: $(218 + 681) \times 3 + 999 = 899 \times 3 + 999 = 3696$ ✓

Răspuns

Câtul este $90 : 18 = \mathbf{5}$.