Problema 3 — Subiect 2026 · Micul Racovițist

Enunț

În cele 9 pătrățele ale pătratului mare de mai jos sunt scrise numere distincte, mai mici decât 24. Aflați literele corespunzătoare, știind că suma numerelor de pe fiecare linie și de pe fiecare coloană este aceeași.

$a$	$b$	$2 \times a$
$e$	$4$	$d$
$6$	$f$	$12$

Barem oficial

Din egalitatea coloanei din mijloc cu linia a treia: $b + 4 + f = 6 + f + 12$ , deci $b = 14$ … 2p
Din $3a + 14 = e + d + 4 = 18 + f = a + e + 6 = 2a + d + 12$ obținem $f = 3a - 4$ , $d = a + 2$ , $e = 2a + 8$ … 2p
$3a - 4$ este număr natural, deci $a \geq 2$ … 2p
$f \neq d \implies 3a - 4 \neq a + 2 \implies a \neq 3$ … 1p
$f \neq b \implies 3a - 4 \neq 14 \implies a \neq 6$ … 1p
$e < 24 \implies 2a + 8 < 24 \implies a < 8$ ; rămâne $a \in \{2, 4, 5, 7\}$ … 1p
$a = 2$ : $f = 2 = a$ — nu convine … 1p
$a = 4$ : $d = 6$ — s-ar repeta 6 — nu convine … 1p
$a = 5$ : $e = 18$ , $d = 7$ , $f = 11$ — convine … 1p
$a = 7$ : $2a = 14 = b$ — nu convine … 1p
Scrierea pătratului completat … 2p

Rezolvare

Pasul 1 — aflăm $b$

Coloana din mijloc și linia a treia au aceeași sumă:

$b + 4 + f = 6 + f + 12 \implies b + 4 = 18 \implies b = \mathbf{14}$

Pasul 2 — exprimăm totul în funcție de $a$

Prima linie are suma $a + 14 + 2a = 3a + 14$ . Egalăm cu celelalte linii și coloane:

Linia 2: $e + 4 + d = 3a + 14$
Coloana 1: $a + e + 6 = 3a + 14 \implies e = 2a + 8$
Coloana 3: $2a + d + 12 = 3a + 14 \implies d = a + 2$
Coloana 2 / Linia 3: $18 + f = 3a + 14 \implies f = 3a - 4$

Pasul 3 — analizăm cazurile

Condiții: toate numerele sunt naturale, distincte și mai mici decât 24.

$f = 3a - 4$ natural $\implies a \geq 2$
$f \neq d \implies 3a - 4 \neq a + 2 \implies a \neq 3$
$f \neq b \implies 3a - 4 \neq 14 \implies a \neq 6$
$e < 24 \implies 2a + 8 < 24 \implies a < 8$

Rămân de verificat $a \in \{2, 4, 5, 7\}$ :

$a$	$e = 2a+8$	$d = a+2$	$f = 3a-4$	Convine?
2	12	4	2	nu — $f = a = 2$
4	16	6	8	nu — $d = 6$ apare deja în pătrat
5	18	7	11	da
7	22	9	17	nu — $2a = 14 = b$

Pătratul completat

$5$	$14$	$10$
$18$	$4$	$7$
$6$	$11$	$12$

Verificare

Linii: $5+14+10 = 29$ ; $18+4+7 = 29$ ; $6+11+12 = 29$ ✓ Coloane: $5+18+6 = 29$ ; $14+4+11 = 29$ ; $10+7+12 = 29$ ✓ Toate numerele sunt distincte și mai mici decât 24 ✓

Răspuns

$a = \mathbf{5}$ , $b = \mathbf{14}$ , $d = \mathbf{7}$ , $e = \mathbf{18}$ , $f = \mathbf{11}$ — suma comună este $29$ .