Presupunerea falsă

Ipoteză greșită → corecție → adevăr — metoda clasică

6 din 9 ani Ani: 2019, 2020, 2021, 2022, 2023, 2025

Cum recunoști această problemă

Enunțul dă două scenarii cu condiții diferite și rezultate diferite (surplus sau deficit).

Semne distinctive:

  • Apare structura „dacă fiecare dă/ia XX, lipsesc/rămân YY; dacă dă/ia ZZ, lipsesc/rămân WW”
  • Două ecuații cu două necunoscute (numărul de persoane/obiecte și suma totală)
  • Uneori se poate rezolva și cu sistemul de ecuații

Exemple de formulare:

„Dacă fiecare elev ar contribui cu 2 lei, ar lipsi 60 lei. Dacă fiecare ar contribui cu 6 lei, ar rămâne 20 lei. Cu cât contribuie fiecare?”

Metoda de rezolvare

Varianta algebrică (recomandată la clasa a IV-a)

Fie nn = numărul de persoane/obiecte și SS = suma totală.

Ecuația 1 (primul scenariu): contribuție1×n+deficit1=Ssaucontribuție1×n−surplus1=S\text{contribuție}_1 \times n + \text{deficit}_1 = S \quad \text{sau} \quad \text{contribuție}_1 \times n - \text{surplus}_1 = S

Ecuația 2 (al doilea scenariu): contribuție2×n−surplus2=S(sau cu deficit)\text{contribuție}_2 \times n - \text{surplus}_2 = S \quad \text{(sau cu deficit)}

Egalând cele două expresii pentru SS, eliminăm SS și rămânem cu ecuație în nn.

Exemplu rezolvat complet

Problemă (Micul Racovițist 2020, Problema 6):

Dacă fiecare elev dă 2 lei, lipsesc 60 lei. Dacă fiecare dă 6 lei, rămân 20 lei. Câți lei contribuie fiecare?

Fie nn = numărul de elevi, SS = prețul cadoului:

S=2n+60(lipsesc 60, deci suma e mai mare)S = 2n + 60 \qquad \text{(lipsesc 60, deci suma e mai mare)}

S=6n−20(ra˘maˆn 20, deci suma e mai mica˘)S = 6n - 20 \qquad \text{(rămân 20, deci suma e mai mică)}

Egalăm:

2n+60=6n−20  ⟹  80=4n  ⟹  n=20 elevi2n + 60 = 6n - 20 \implies 80 = 4n \implies n = 20 \text{ elevi}

S=2×20+60=100 leiS = 2 \times 20 + 60 = 100 \text{ lei}

Contribuția per elev: 100:20=5 lei100 : 20 = \boxed{5 \text{ lei}}

Verificare: 20×2=40<10020 \times 2 = 40 < 100 (lipsesc 60 ✓); 20×6=120>10020 \times 6 = 120 > 100 (rămân 20 ✓)

Greșeli frecvente

  • Sensul inechității: „lipsesc 60” înseamnă 2n+60=S2n + 60 = S (adaugi deficitul), nu 2n−60=S2n - 60 = S
  • Rămân kk lei: înseamnă 6n−k=S6n - k = S (scazi surplusul)
  • Verificarea ambelor condiții: verifică AMBELE scenarii, nu doar unul

Probleme din arhivă