Enunț

Arătați că, oricum am alege paisprezece numere naturale diferite de zero, astfel încât suma lor să fie egală cu 104, vor exista printre cele paisprezece numere cel puțin două numere egale.

Indiciu: Utilizați principiul cutiei (Principiul lui Dirichlet).

Barem oficial

• Presupunem că nu există două numere naturale diferite de zero egale 5p
• Dar $S \leq 1+2+3+\ldots+14 = (14 \times 15):2 = 105$ și $S = 104 \leq 105$ 4p
• Există cel puțin două numere naturale nenule egale (contradicție cu ipoteza) 1p

---

Rezolvare

Demonstrație prin contradicție (Principiul lui Dirichlet)

Ipoteză: Presupunem că toate cele 14 numere naturale nenule sunt distincte.

Dacă sunt distincte, cel mai mic set de 14 numere naturale nenule distincte este: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14$

Suma minimă a 14 numere naturale nenule distincte: $1+2+3+\ldots+14 = \frac{14 \times 15}{2} = \mathbf{105}$

Contradicție: Suma noastră trebuie să fie 104, dar dacă toate ar fi distincte, suma ar fi cel puțin 105.

Deci nu este posibil ca toate 14 numere să fie distincte.

Prin urmare, printre cele 14 numere există cel puțin două egale. $\square$

Răspuns

Demonstrație completă prin contradicție folosind Principiul Cutiei: suma minimă pentru 14 naturale nenule distincte este 105 > 104, deci cel puțin două trebuie să fie egale.