Cum recunoști această problemă

Enunțul prezintă câteva numere în ordine și cere să găsești un termen sau să calculezi o sumă.

Semne distinctive:

• Sunt date 3–4 numere și se observă un tipar (diferență sau raport constant)
• Se cere termenul de pe poziția $n$ (adesea mare: 501, 289 etc.)
• Sau se cere suma primilor $n$ termeni

Exemple de formulare:

„Șirul: 3, 11, 19, 27, … Care este termenul de rang 501?” „Calculați suma primelor 87 de numere naturale consecutive cu termenul din mijloc 200.”

---

Metoda de rezolvare

Pas 1 — identifică tipul șirului

Progresie aritmetică (rație constantă $r$): fiecare termen = termenul anterior $+ r$

$a_1,\ a_1+r,\ a_1+2r,\ \ldots$

Formula termenului general:

$\boxed{a_n = a_1 + (n-1) \cdot r}$

Pas 2 — identifică $a_1$ și $r$

$r = a_2 - a_1 = a_3 - a_2 \quad (\text{trebuie să fie egal})$

Pas 3 — aplică formula

Înlocuiește $n$ cu valoarea cerută.

Bonus — suma primilor $n$ termeni

$S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$

---

Exemplu rezolvat complet

Problemă (Micul Racovițist 2024, Problema 2):

Șirul: $3, 11, 19, 27, \ldots$ Aflați termenul de rang 501 și restul împărțirii lui $a_{501}$ la 9.

Pas 1 — rația:

$r = 11 - 3 = 8$

Pas 2 — formula:

$a_n = 3 + (n-1) \times 8 = 8n - 5$

Pas 3 — termenul 501:

$a_{501} = 8 \times 501 - 5 = 4008 - 5 = \boxed{4003}$

Restul la împărțirea prin 9:

$4003 : 9 = 444 \text{ rest } \mathbf{7}$

---

Greșeli frecvente

• Formula greșită: $a_n = a_1 + n \cdot r$ în loc de $a_1 + (n-1) \cdot r$ — adaugă un $r$ în plus!
• Rație negativă: unii nu recunosc că un șir descrescător poate fi totuși aritmetică ($r < 0$)
• Suma: formula $\dfrac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$ necesită numărul de termeni $n$, nu indicele ultimului termen

Verificare rapidă: calculează $a_2$ și $a_3$ cu formula și compară cu valorile date.

---

Probleme din arhivă

• 2024 — Problema 2 — termenul 501 și rest la 9 ($a_{501} = 4003$)
• 2017 — Problema 5 — suma a 87 de numere consecutive ($S = 17400$)
• 2022 — Problema 5 — șir cu rație variabilă
• 2020 — Problema 8 — termenul din șirul $5, 12, 19, \ldots$ care dă 2021