Probleme cu cifre

Cum recunoști această problemă

Enunțul folosește notația cu bare ($\overline{ab}$, $\overline{abc}$, $\overline{abcd}$) sau vorbește explicit despre cifre ale unui număr.

Semne distinctive:

• Apare $\overline{ab}$, $\overline{abc}$ sau $\overline{abcd}$ (număr cu cifrele $a$, $b$, etc.)
• Se dau condiții despre cifre individuale sau despre numărul format din ele
• Se cere să găsești cifrele sau să numeri câte numere satisfac o condiție

Exemple de formulare:

„Determinați numerele $\overline{abcd}$ pentru care $\overline{abcd} + \overline{abc} + \overline{ab} + a + b + c + d = 2025$.”

---

Metoda de rezolvare

Regula fundamentală — descompunere pozițională

$\overline{ab} = 10a + b$

$\overline{abc} = 100a + 10b + c$

$\overline{abcd} = 1000a + 100b + 10c + d$

unde $a \in \{1, \ldots, 9\}$ (cifra nenulă la început) și $b, c, d \in \{0, \ldots, 9\}$.

Algoritmul:

1. Înlocuiește fiecare număr cu forma sa descompusă
2. Adună coeficienții fiecărei cifre
3. Obții o ecuație de forma $Aa + Bb + Cc + Dd = N$
4. Analizează sistematic valorile posibile (de obicei $a$ este restricționat)

---

Exemplu rezolvat complet

Problemă (Micul Racovițist 2025, Problema 4):

$\overline{abcd} + \overline{abc} + \overline{ab} + a + b + c + d = 2025$

Descompunere:

$\underbrace{(1000+100+10+1)}_{1111}a + \underbrace{(100+10+1+1)}_{112}b + \underbrace{(10+1+1)}_{12}c + \underbrace{(1+1)}_{2}d = 2025$

Analiza lui $a$:

• $a \geq 2$: $1111 \times 2 = 2222 > 2025$ — imposibil
• Deci $\mathbf{a = 1}$: $112b + 12c + 2d = 914$, simplificat: $56b + 6c + d = 457$

Analiza lui $b$:

• $b = 9$: $56 \times 9 = 504 > 457$ — imposibil
• $b = 8$: $56 \times 8 = 448$, deci $6c + d = 9$
  • $c = 0, d = 9$: 1809 ✓
  • $c = 1, d = 3$: 1813 ✓
  • $c \geq 2$: $6 \times 2 = 12 > 9$ — imposibil
• $b \leq 7$: max = $56 \times 7 + 6 \times 9 + 9 = 455 < 457$ — imposibil

Răspuns: $\overline{abcd} \in \{1809, 1813\}$

---

Greșeli frecvente

• Coeficienți greșiți: $\overline{abc} = 100a + 10b + c$, nu $a + b + c$ sau $abc$
• Uitarea restricțiilor: $a \geq 1$ (prima cifră nenulă), $d \leq 9$, etc.
• Analiza incompletă: verifică TOATE valorile posibile sau demonstrează de ce nu există altele

---

Probleme din arhivă

• 2025 — Problema 4 — suma $\overline{abcd} + \overline{abc} + \overline{ab} + \ldots = 2025$
• 2024 — Problema 4 — număr de forma $\overline{ab5}$
• 2022 — Problema 2 — număr de 6 cifre cu proprietate specială
• 2021 — Problema 7 — câte numere de 3 cifre au suma cifrelor 7 (28)
• 2020 — Problema 4 — determinarea cifrelor $a, b, c$ din ecuații