Cum recunoști această problemă

Enunțul cere să demonstrezi că ceva este obligatoriu să se întâmple, sau să numeri câte obiecte/numere satisfac o condiție.

Semne distinctive:

• „Demonstrați că printre $n$ numere există cel puțin două cu proprietatea…”
• „Câte numere de $k$ cifre au suma cifrelor egală cu…”
• „Câte pătrate se pot forma…”
• O problemă aparent imposibil de rezolvat fără să verifici toate cazurile

Exemple de formulare:

„Demonstrați că printre 14 numere naturale nenule cu suma 104 există cel puțin două egale.” „Câte numere naturale de 3 cifre au suma cifrelor egală cu 7?”

---

Metoda de rezolvare

Principiul Cutiei (Dirichlet)

Dacă $n+1$ obiecte sunt plasate în $n$ cutii, atunci cel puțin o cutie conține cel puțin 2 obiecte.

Aplicare la concurs:

• Identifică „obiectele” (numerele, persoanele etc.)
• Identifică „cutiile” (categoriile, valorile posibile)
• Demonstrează că obiectele $>$ cutiile → concluzie prin contradicție

Numărare sistematică

1. Identifică toate cazurile posibile
2. Organizează-le (tabel, liste pe categorii)
3. Numără fără să omiți sau să dublezi

---

Exemplu 1 — Principiul Cutiei

Problemă (Micul Racovițist 2018, Problema 6):

Suma a 14 numere naturale nenule este 104. Demonstrați că cel puțin două sunt egale.

Demonstrație prin contradicție:

Presupunem că toate 14 numere sunt distincte.

Cel mai mic set de 14 numere naturale nenule distincte este $\{1, 2, 3, \ldots, 14\}$.

Suma lor minimă: $\dfrac{14 \times 15}{2} = 105 > 104$

Contradicție: suma ar fi cel puțin 105, dar noi avem 104. Deci nu pot fi toate distincte.

Concluzie: cel puțin două numere sunt egale. $\square$

---

Exemplu 2 — Numărare sistematică

Problemă (Micul Racovițist 2021, Problema 7):

Câte numere naturale de 3 cifre au suma cifrelor egală cu 7?

Fie numărul $\overline{abc}$, cu $a \geq 1$, $b, c \geq 0$ și $a + b + c = 7$.

Substituție: $a' = a - 1 \geq 0$, deci $a' + b + c = 6$.

Numărul soluțiilor cu $a', b, c \geq 0$: $\binom{6+2}{2} = \binom{8}{2} = \mathbf{28}$

(Restricțiile $a' \leq 8$, $b \leq 9$, $c \leq 9$ sunt automat satisfăcute deoarece $a'+b+c=6$.)

Răspuns: 28 de numere

---

Greșeli frecvente

• Principiul Cutiei: nu confundați „obiectele” cu „cutiile” — cutiile sunt categoriile, nu elementele
• Numărarea: nu omiteți cazul $b = 0$ sau $c = 0$ (cifra zero este validă în interiorul unui număr)
• Demonstrația: „prin contradicție” înseamnă că presupui OPUSUL și ajungi la imposibil — nu lăsați concluzia nescrisă

---

Probleme din arhivă

• 2018 — Problema 6 — 14 numere, sumă 104, cel puțin două egale
• 2021 — Problema 7 — câte numere de 3 cifre cu suma 7 (28)
• 2020 — Problema 10 — câte zerouri finale are $12 \times 13 \times \ldots \times 72$ (14)
• 2019 — Problema 5 — vârstele tatălui și fiilor (demonstrație că nu sunt gemeni)
• 2022 — Problema 6 — minimul diferenței $\overline{abc} - \overline{cba}$