Spectatori la serbare — împărțire cu rest — 2020

Enunț

La o serbare școlară a venit un număr de $n$ spectatori. Dacă se așază câte 3 pe bancă, pe una din bănci vor sta doar 2 spectatori. Ulterior mai sosesc 40 de spectatori. Acum se așază câte 5 pe bancă: rămân 4 bănci libere și pe una din bănci stau doar 2 spectatori.

Câți spectatori au venit la serbare?

a) 122 b) 107 c) 92 d) 77

Rezolvare

Pasul 1 — condiția inițială

Fie $n$ = numărul inițial de spectatori și $B$ = numărul total de bănci.

Spectatorii stau câte 3 pe bancă, pe o bancă stau doar 2: $n = 3(B - 1) + 2 = 3B - 1$

$\text{deci } B = \frac{n + 1}{3}$

Pasul 2 — condiția după adăugare

Mai vin 40 spectatori → total $n + 40$.

Acum stau câte 5 pe bancă, rămân 4 bănci libere, pe o bancă stau doar 2: $n + 40 = 5 \times (B - 4 - 1) + 2 = 5(B - 5) + 2 = 5B - 23$

Pasul 3 — rezolvăm

Înlocuim $B = \dfrac{n+1}{3}$: $n + 40 = 5 \cdot \frac{n+1}{3} - 23$

$3(n + 40) = 5(n + 1) - 69$

$3n + 120 = 5n + 5 - 69 = 5n - 64$

$184 = 2n \implies n = \mathbf{92}$

Verificare

$B = (92+1)/3 = 31$ bănci.

Inițial: $3 \times 30 + 2 = 92$ ✓

Ulterior: $92 + 40 = 132$; $5 \times 26 + 2 = 132$ ✓; bănci folosite: 27; libere: $31-27=4$ ✓

Răspuns

c) 92 spectatori