Enunț

Câte numere $\overline{abc}$ au proprietatea că $a + b + c = 7$?

a) 28 b) 7 c) 13 d) 35

Rezolvare

Metoda — numărare sistematică

Vrem numărul de triplete $(a, b, c)$ cu:

• $a \in \{1, 2, \ldots, 9\}$ (prima cifră, nenulă)
• $b, c \in \{0, 1, \ldots, 9\}$
• $a + b + c = 7$

Substituție: $a' = a - 1 \geq 0$, atunci $a' + b + c = 6$.

Numărul soluțiilor întregi nenegative pentru $a' + b + c = 6$ (fără restricții superioare imediate): $\binom{6 + 2}{2} = \binom{8}{2} = 28$

Verificăm restricțiile superioare:

• $a' \leq 8$: soluțiile cu $a' \geq 9$ ar necesita $a' + b + c \geq 9 > 6$ → imposibil ✓
• $b \leq 9$, $c \leq 9$: deoarece $b + c \leq 6$, ambii $\leq 6 \leq 9$ → automat satisfăcut ✓

Deci 28 numere au proprietatea că suma cifrelor este 7.

Câteva exemple

$700, 610, 601, 520, 511, 502, 430, 421, 412, 403, \ldots$ (28 în total)

Răspuns

a) 28 numere