Enunț

Se consideră șirul de numere naturale: 4, 7, 10, 13, 16, …

a) Pe ce poziție se află numărul 2023 în șir?

b) Vasile vrea să adune primele nouă numere de patru cifre din șir. Din greșeală, a omis un număr și astfel a obținut suma 8090. Care este numărul omis?

Barem oficial

a)

• Șirul conține numerele cu restul 1 la împărțirea cu 3, în ordine crescătoare … 3p
• $4 = 3 \times 1 + 1$, $7 = 3 \times 2 + 1$, …, $an = 3n + 1$
• $(2023 - 1) : 3 = 674$ → 2023 este pe poziția 674 … 2p+2p

b)

• Primele 9 numere de 4 cifre: 1000, 1003, 1006, …, 1024 … 3p
• Suma = $9 \times 1000 + 3 + 6 + ... + 24 = 9108$ … 3p
• Numărul omis = $9108 - 8090 = \mathbf{1018}$ … 1p

---

Rezolvare

Formula generală a șirului

Șirul $4, 7, 10, 13, 16, \ldots$ are rația $r = 3$.

Termenul general: $a_n = 3n + 1$ (pentru $n = 1: a_1 = 4$, pentru $n = 2: a_2 = 7$, etc.)

---

Punctul a) — poziția lui 2023

$3n + 1 = 2023 \implies 3n = 2022 \implies n = 674$

2023 se află pe poziția 674 în șir.

---

Punctul b) — numărul omis

Găsim primele 9 numere de 4 cifre din șir:

Cel mai mic număr de 4 cifre din șir: $1000 = 3 \times 333 + 1$ → există în șir.

Primele 9: $1000, 1003, 1006, 1009, 1012, 1015, 1018, 1021, 1024$

Suma corectă: $9 \times 1000 + (0 + 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + 21 + 24)$

$= 9000 + 108 = 9108$

Numărul omis: $9108 - 8090 = \mathbf{1018}$

(1018 = 3 × 339 + 1, deci este în șir ✓)

Răspuns

a) Numărul 2023 se află pe poziția 674 în șir.

b) Numărul omis de Vasile este 1018.