Enunț

Se dă șirul de numere: 0; 7; 14; 21; …; 1421.

a) Câți termeni are șirul?

b) Care este primul număr din șir care are suma cifrelor egală cu 21?

Barem oficial

a)

• Termenii: $0 \times 7$, $1 \times 7$, …, $203 \times 7$ … 2p
• Avem 204 termeni … 3p

b)

• Numărul de 2 cifre: suma cifrelor ≤ 18 < 21 → numărul are 3 cifre … 5p
• Forma $\overline{abc}$ cu $a+b+c=21$ și $\overline{abc}$ multiplu de 7
• $a$ cel mai mic posibil: $a=1$ → $b+c=20$ (imposibil); $a=2$ → $b+c=19$ (imposibil) … 3p
• $a=3$: $b+c=18$ → $b=c=9$; verificare: $399 : 7 = 57$ ✓ … 4p+3p
• Primul număr: 399

---

Rezolvare

Punctul a) — numărul de termeni

Șirul: $0, 7, 14, 21, \ldots, 1421$ = multipli ai lui 7.

Termenii sunt: $0 \times 7,\ 1 \times 7,\ 2 \times 7,\ \ldots,\ 203 \times 7$

(Ultimul: $1421 : 7 = 203$, deci $203 \times 7 = 1421$)

Numărul de termeni: $203 - 0 + 1 = \mathbf{204}$ termeni.

---

Punctul b) — primul multiplu al lui 7 cu suma cifrelor = 21

De ce trebuie să fie număr de 3 cifre?

• Număr de 1 cifră: suma cifrelor max $= 9 < 21$
• Număr de 2 cifre: suma cifrelor max $= 9 + 9 = 18 < 21$
• Număr de 3 cifre $\overline{abc}$ cu $a + b + c = 21$: posibil!

Cel mai mic număr de 3 cifre cu $a+b+c=21$:

Punem $a$ cât mai mic posibil:

• $a = 1$: $b + c = 20$, dar max $b+c = 18$ → imposibil
• $a = 2$: $b + c = 19$, dar max $= 18$ → imposibil
• $a = 3$: $b + c = 18$ → $b = 9, c = 9$ → numărul 399

Verificăm că 399 este multiplu de 7: $399 = 7 \times 57 = 399 \checkmark$

Răspuns

a) Șirul are 204 termeni.

b) Primul număr din șir cu suma cifrelor 21 este 399.