Enunț

Se consideră șirul de numere naturale: $11,\ 13,\ 17,\ 23,\ 31,\ \ldots$

a) Aflați o regulă de formare a șirului astfel încât 1991 să fie un termen al șirului.

b) Utilizând regula găsită, determinați al 91-lea termen al șirului.

Rezolvare

Regula de formare

Șirul: $11, 13, 17, 23, 31, \ldots$

Diferențele consecutive: $2, 4, 6, 8, \ldots$ (multipli consecutivi ai lui 2).

Formula termenului general: $a_n = 11 + 2 + 4 + 6 + \ldots + 2(n-1) = 11 + 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = 11 + n(n-1)$

a) Verificăm că 1991 este termen

$1991 = 11 + n(n-1) \implies n(n-1) = 1980$

$44 \times 45 = 1980$ ✓ → 1991 este al 45-lea termen.

b) Al 91-lea termen

$a_{91} = 11 + 91 \times 90 = 11 + 8190 = \mathbf{8201}$

Răspuns

a) Regula: $a_n = 11 + n(n-1)$; 1991 este al 45-lea termen.

b) $a_{91} = 8201$