Enunț

Produsul a zece numere naturale este egal cu 20.

Determinați cea mai mică sumă posibilă a acestor numere.

Rezolvare

Strategia — minimizăm suma, menținem produsul = 20

Avem 10 numere naturale cu produsul 20. Suma minimă se obține folosind cât mai mulți factori 1 (care nu schimbă produsul).

Descompunerea lui 20: $20 = 2 \times 2 \times 5 \times 1^7$

Suma: $2 + 2 + 5 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = \mathbf{16}$

De ce nu putem face mai bine?

• Orice descompunere cu un factor $\geq 6$ crește suma (ex. $20=4\times5$: $4+5+1^8=17$, mai mare)
• Factorii 2, 2, 5 sunt minimali pentru produsul 20 = $2^2 \times 5$

Deci suma minimă este 16.

Răspuns

Cea mai mică sumă posibilă este $\mathbf{16}$ (pentru numerele $2, 2, 5, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1$).